Geboren in Recklinghausen-Bruch als Sohn des aus Bochum stammenden Bergmanns Carl Auge besuchte Auge nach Umzug seiner Eltern nach Bochum eine katholische Volks- bzw. Mittelschule in Bochum (-Riemke). Die Rückkehr nach Recklinghausen erfolgte im Jahre 1914, von 1915 bis 1919 absolvierte er (unterbrochen durch Kriegseinsatz von 1916 bis 1918 beim Reserve-Ersatzregiment Nr. 64 der 1. Garde-Reserve-Division) die katholische Präparandenanstalt und das Lehrerseminar in Recklinghausen. Von Juli 1919 bis Herbst 1939 war Auge als Volkschullehrer in Herne tätig und wohnte in Recklinghausen-Süd.

Ab 1923 war er Mitglied im Allgemeinen Deutschen Beamtenbund, einige Jahre später auch Geschäftsführer der Allgemeinen Freien Lehrergewerkschaft, von 1925 an Mitglied der SPD. Im Frühjahr 1933 wurde Auge kurzfristig vom Dienst suspendiert, trat aber an einer katholischen Volksschule in Herne-Börnig bald wieder in den Schuldienst ein. In den Jahren 1939-1940 und 1944-1945 folgte, unterbrochen durch Rückkehr in den Schuldienst, erneuter Kriegseinsatz bei einer Infanterie- bzw. Pioniereinheit, bei Kriegsende auch US-Kriegsgefangenschaft, aus der Auge im September 1945 entlassen wurde.

Kurz darauf trat Auge, der seitens des Erzbistums Paderborn auch die missio canonica für Religionslehre besaß, in Herne wieder in den Schuldienst ein, wo er Rektor einer Gemeinschaftsschule wurde. Ab 1947 war Auge als Bürgerschaftsvertreter im Schulausschuss des Stadtrates von Recklinghausen tätig. 1948 war er Mitbegründer der Gewerkschaft Erziehung und Wissenschaft (GEW) in Nordrhein-Westfalen, seine Lehrertätigkeit endete im Herbst 1957, als Heinrich Auge für die SPD erstmals in den Bundestag einzog.

Bereits zu den Kommunalwahlen im November 1952 hatte Auge in Recklinghausen für die SPD erstmals als Stadtverordneter kandidiert, am 1. Dezember 1952 wählte ihn eine knappe Mehrheit im zweiten Wahlgang zum neuen Oberbürgermeister, wodurch dieses Amt zum ersten Mal in Recklinghausen durch einen Sozialdemokraten bekleidet wurde, der 1956, 1958, 1961, 1964 und 1969 mehrheitlich einstimmige Wiederwahlen bestand und dabei auf wachsende SPD-Ratsmehrheiten setzen konnte. Seine Tätigkeit als Bundestagsabgeordneter, die 1961 und 1965 mit einem Direktmandat und der Mitgliedschaft im Petitions- bzw. Wahlrechts- und Immunitätsausschuss einherging, endete mit Ablauf der IV. Wahlperiode im September 1969. Daraufhin blieb Auge noch bis November 1972 im Amt des Oberbürgermeisters.

Auge erhielt 1965 das Große Bundesverdienstkreuz, 1967 den Goldenen Ehrenring der Stadt Recklinghausen sowie 1969 auch die Große Stadtplakette. Bei Vollendung des 20. Amtsjahres bzw. Ausscheiden aus dem Oberbürgermeisteramt im November 1972 wurde er Ehrenbürger der Stadt Recklinghausen und erhielt per Ratsbeschluss den Titel Alt-Oberbürgermeister.